Dispensa n.12 - Equazione fondamentale della statica dell'atmosfera.

Sommario: in questa dispensa osserveremo da vicino come si giunge ad impiantare l'equazione fondamentale della statica dell'atmosfera.

Vi ricordate di cosa si occupa, in fisica, la statica ? E' quella parte della cinematica che si occupa del comportamento dei corpi in quiete.

In meteorologia si considera, per semplificarne lo studio, un'atmosfera teorica in quiete rispetto alla Terra, ovvero priva di moti, e le cui superfici isobariche sono tutte parallele alla superficie terrestre considerata priva di rugosità (il che equivale a dire che, considerato un punto qualsiasi appartenente ad una determinata superficie isobarica, l'altezza rispetto alla superficie considerata piana sarà sempre la medesima). Tale atmosfera viene definita barotropica (figura 1a). Se le superfici isobariche vengono invece considerate inclinate , come avviene normalmente in natura a causa delle differenze di temperatura e di densità tra strato e strato, si parla di atmosfera baroclina (figura 1b).

L'equazione che cerchiamo parte proprio dall'atmosfera barotropica.

Piccolo cenno (senza pretese) alla simbologia matematica.

Nelle matematiche, per indicare variazioni piccolissime di una grandezza, ossia variazioni "infinitesimali", così piccole da non poter essere espresse da alcun numero, per quanto piccolo, si usa la lettera d seguita dal simbolo della variabile che subisce le variazioni. La potenza del calcolo infinitesimale consiste nel generalizzare le leggi fisiche, sollevandole dal "peso" dei numeri.

Esempio:

con p si indica solitamente la pressione; una piccolissima, minutissima variazione di pressione si indicherà dp;

se con z indichiamo una lunghezza, dz indicherà una sua variazione infinitesimale.

Se da valori infinitamente piccoli si vuole passare a differenze finite ovvero rappresentabili con numeri, useremo la lettera greca maiuscola D (delta). Perciò Dp rappresenterà una definita variazione di pressione.

Ed ora, avanti tutta con l'equazione...

Cominciamo col considerare una superficie isobarica posta ad una quota z rispetto alla superficie terrestre (figura 2). 

Un piccolo incremento di quota, dz, ci farà innalzare alla superficie isobarica posta a z + dz (figura 3). Dai nostri precedenti studi sappiamo che la pressione diminuisce man mano che ci si allontana dalla Terra. Per cui, se alla quota z + dz essa è p, alla quota z (più vicina alla Terra) la pressione sarà leggermente più alta, ovvero sarà p + dp (figura 4).

Riassumendo, avremo:

Quando abbiamo studiato la distribuzione della pressione al suolo, abbiamo visto che, se esiste una differenza di pressione, esiste anche una forza, chiamata di gradiente, che è orientata dalle alte verso le basse pressioni (figura 5).

Esaminiamo ora un cilindretto d'aria con base unitaria, faccia inferiore posta alla quota z, e quella superiore alla quota z + dz (figura 6). Trovandosi le due facce a quote differenti, la pressione sarà differente su ciascuna delle due facce, e precisamente sarà più elevata sulla faccia inferiore (p + dp) e minore sulla faccia superiore (p) (figura 7).

Poichè tra le due facce del cilindretto esiste una differenza di pressione, vi sarà pure una forza di gradiente G, diretta verticalmente da z verso z + dz, ovvero dalla pressione p + dp verso la pressione p (figura 8).

E qui arriviamo al bello. Se è vero che il cilindretto è in quiete, ed è vero perchè siamo partiti proprio da questo presupposto, se esiste questa forza G, vi dovrà essere una forza di uguale intensità che si contrappone ad essa. Questa forza esiste, ed è la forza peso P, diretta verticalmente verso il basso (figura 9).

Possiamo esprimere questa contrapposizione scrivendo:

La grandezza di G è espressa proprio dalla differenza di pressione, ovvero dp.

Parlando di forze, l'equazione fondamentale della dinamica ci può senz'altro aiutare. Essa dice che una forza F è pari alla massa m per l'accelerazione a:

F = m * a

Il peso di un corpo, essendo una forza, può essere espressa con 

P = m * g

dove g è l'accelerazione di gravità.

Ci piacerebbe esaminare la forza peso di un corpo in relazione alla sua densità: come possiamo fare ?

Basta ricordare che la densità esprime il rapporto tra massa e volume in cui tale massa è contenuta: 

d = m / V. 

Con un piccolo artificio matematico a tutti noi noto, possiamo ricavarci dalla formula precedente la massa, e cioè:

m = d * V

Perciò possiamo scrivere:

P = m * g

e sostituire m con la relazione trovata:

P = d * V * g.

Così facendo siamo riusciti ad esprimere la forza peso P in funzione della densità del corpo anzichè della sua massa. Dalla espressione ricavata si vede chiaramente che se aumenta la densità aumenterà la forza peso (proporzionalità diretta).

Torniamo al nostro cilindretto.

Se la base è unitaria (cioè uguale a 1), il suo volume V sarà dato dal prodotto

area della base * altezza

ovvero

V = 1 * dz = dz

Pertanto

P = d * V * g

sostituendo V con dz, diventerà

P = d * dz * g.

Ora abbiamo tutto ciò che ci serve per creare la nostra equazione:

G = dp

P = d * g * dz

per cui, se G = -P

che rappresenta l'equazione fondamentale della statica dell'atmosfera, ovvero la legge che governa il cilindretto d'aria in quiete.

Il gradiente barico verticale sarà dato da:

dp / dz = -d * g

che rappresenta la legge di diminuzione della pressione al crescere dell'altezza. In termini di differenze finite possiamo scrivere

Dp = -d * g * Dz.

Considerazioni

Dall'esame dell'equazione che esprime il gradiente barico verticale

dp / dz = -d * g

possiamo trarre alcune considerazioni.

dp / dz lega la variazione di pressione alla variazione di altezza. Questa variazione dipende dalla densità e dall'accelerazione di gravità, che può essere assunta come costante. Per cui si può concludere dicendo che la pressione varia lungo la verticale in funzione della densità e, in definitiva, in relazione alla temperatura dell'aria.

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