Dispensa n.15

Moto di una particella d'aria secca in una colonna d'aria secca.

In questa dispensa cercheremo di capire, da un punto di vista fisico, perchè una particella d'aria anzichè restarsene immobile, tende a muoversi verso l'alto o verso il basso. In meteorologia questi movimenti verticali costituiscono la causa principale della formazione delle nubi e del loro dissolvimento. E' facile ricordare che le nubi si formano soprattutto nelle aree di bassa pressione poichè in queste l'aria che affluisce orizzontalmente dall'esterno, acquista nella depressione un movimento verticale verso l'alto, che porta la massa d'aria a raffreddarsi e a raggiungere la saturazione (100% di umidità relativa), dando origine ai corpi nuvolosi.

Per contro, nelle aree di alta pressione, spesso il cielo è sereno poichè il movimento verticale dell'aria verso il basso porta l'aria stessa a comprimersi e a riscaldarsi, allontanandosi dalla saturazione (umidità relativa<100%).

Il nostro esperimento consisterà nello scoprire il comportamento di una particella d'aria immersa in una colonna d'aria. Per incominciare, consideriamo una particella d'aria secca, ovvero lontano dalla saturazione.

Innanzitutto, ci aiuterà a seguire il discorso, sapere che ciò che induce la particella d'aria a muoversi è una forza, o, più descrittivamente, quella di due forze contrapposte che avrà la meglio.  A questo proposito ci servirà ricordare che

ovvero, utilizzando delle singole lettere (utilissime per abbreviare il discorso!), diremo che

Per sapere tutto di questa particella, sarà sufficiente conoscere di lei:

Abbiamo aggiunto la lettera p minuscola, per distinguere le proprietà riferite alla particella d'aria da quelle della colonna d'aria secca in cui immergeremo la particella. Le proprietà della colonna d'aria le identificheremo aggiungendo una piccola lettera a alle lettere maiuscole (ad esempio, per la Temperatura dell'aria scriveremo T_a).

Ed ora procediamo con il nostro esperimento, immergendo la particella d'aria secca in una colonna d'aria secca ad una quota z, e scopriamo cosa succede.

Appena immersa, la nostra particella p sarà sottoposta a due forze contrapposte:

Non lasciamoci ingannare dai nomi o dai simboli differenti, poichè si tratta sempre di forze in gioco, e quindi, come promesso all'inizio, conformi alla formulazione F = m * a !

Nella forza peso, l'accelerazione considerata corrisponde a quella di gravità, per cui useremo g al posto di a.

Pertanto per esprimere la forza peso, rivolta verso il basso, scriveremo

Se vi domandate che necessità c'è di cambiare i simboli, sappiate che non si tratta di una crudeltà verso gli studenti, ma una comodità per riconoscere quali sono le forze in gioco.

La spinta di Archimede, esercitata dalla colonna d'aria e rivolta verso l'alto, è data da:

Spesso, quando si utilizzano delle formule, può essere utile evidenziare una grandezza piuttosto che un'altra. Ad esempio, nel nostro caso, anzichè parlare di masse, potrebbe farci comodo parlare di densità. Capiremmo, in tal caso, come si comporta una particella d'aria avente una densità diversa da quella della colonna d'aria.

Tutto ciò che dobbiamo fare, è eliminare la massa e sostituirla con una espressione equivalente che contenga la densità:

Se ci ricordiamo che la densità (simbolo: r, ovvero la lettera greca rho) equivale al rapporto che intercorre tra la massa e il suo volume, r = m / V, con un piccolo gioco di prestigio otterremo che

Se parliamo della massa della particella, scriveremo m_p = r_p* V_p.

Se parliamo della massa della colonna d'aria, scriveremo m_a = r_a * V_a.

P_p = m_p * g diventa dunque P_p = r_p* V_p * g, ovvero abbiamo trovato il modo di esprimere la forza peso in funzione della densità della particella d'aria.

Operazione che faremo anche per la spinta di Archimede S = m_a * g, che diventerà S = r_a * V_a * g.

Il movimento verticale assunto dalla particella dipenderà da quale delle due forze suddette avrà la meglio, ovvero dalla forza risultatante dalla differenza tra spinta archimedea e forza peso.

Forza risultante F  =  S - P_p.

Se S prevale su P,  F >0 e p acquisterà un moto ascendente (vince la spinta di Archimede);

Se P prevale su S, F < 0 e p acquisterà un moto discendente (vince la forza peso);

Se P ed S si controbilanciano, F=0 e la particella sarà in equilibrio e non subirà alcun moto.

Ricordando che

P_p = r_p* V_p * g

S = r_a * V_a * g

F = S - P_p può diventare

F = r_a * V_a * g - r_p* V_p * g

mettendo in evidenza l'accelerazione di gravità:

F = g *(V_a * r_a - V_p * r_p)

Ricordando che V_p e V_a equivalgono, possiamo scrivere:

F = g * V_p  (r_a - r_p).

Questa formula già ci dice qualcosa, e cioè che se la densità della colonna d'aria (r_a ) è maggiore della densità della particella ( r_p), quest'ultima riceverà una spinta verso l'alto. Viceversa, se sarà r_pmaggiore di r_a , allora la particella, essendo più densa dell'aria e quindi più pesante, riceverà una spinta verso il basso. Se le due densità coincidono, la particella resterà indifferente.

Riassumendo in una tabella le tre condizioni viste, avremo:

Quale accelerazione a riceverà la particella? A questo punto i giochi possono apparirci un po' più complicati, ma se cerchiamo di ritornare all'equazione fondamentale F=m*a, forse le cose cambiano.

Se analizziamo l'espressione F = g * V_p  (r_a - r_p), ci rendiamo conto che F e g già compaiono, per cui dobbiamo far ricomparire la massa della particella. Se massa = densità * Volume (V_p ), dobbiamo tirar fuori dalle parentesi la densità r_p.

Se moltiplico e divido (r_a - r_p) per  r_potterrò r_p(r_a / r_p- 1), raggiungendo l'obiettivo di tirar fuori dalla parentesi la densità r_p.

F = g * V_p  (r_a - r_p) diventerà

F = g * V_p  r_p(r_a / r_p- 1), e poichè m_p = V_p  r_p,

F = g * m_p  (r_a / r_p- 1),

pertanto l'accelerazione a acquistata dalla particella sarà:

a = g *  (r_a / r_p- 1).

Anche per l'accelerazione valgono le stesse considerazioni fatte per la forza:

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