Curiosità e calcoli dilettevoli

1. Quanto pesa un metro cubo di aria secca?

2. Quanto pesa l'aria contenuta in una stanza?

3. Come si ricava l'umidità specifica conoscendo la temperatura di rugiada (metodo grafico)?

4. Come si calcola la temperatura equivalente?

5. Come si calcola la temperatura potenziale Q ?

6. Come si calcola la temperatura virtuale T_v?

7. Se non dispongo di un diagramma termodinamico, come posso calcolare il rapporto di mescolanza ?

8. Come si calcola l'umidità specifica massima U_smax ?

9. Come si calcola l'indice Humidex ?

10. Come si calcola la temperatura pseudopotenziale  Q_p ?

11. Come si calcola la temperatura di condensazione ?

12. Come si calcola la temperatura di bulbo bagnato ?

13. Come si calcola la temperatura media di uno strato atmosferico?

    

1d) Quanto pesa un metro cubo di aria secca, alla pressione di 1 atmosfera ed alla temperatura di 0°C ?

1r) Pesa 1,293 kg.

2d) Quanto pesa l'aria contenuta in una stanza a forma di parallelepipedo rettangolo le cui dimensioni sono 5m, 4m, 3,75m ?

Calcoliamo il volume V della stanza:

V = (5*4*3,75) m³ = 75 m³

Trascurando il vapore acqueo contenuto nella stanza, poichè 1 m³ = 1,293 kg, il peso P di tutta l'aria sarà :

P = (1,293 * 75) kg_p= 96,975 kg_p

ovvero quasi 1 quintale !

3d) Come si ricava l'umidità specifica effettiva conoscendo la temperatura di rugiada (t_d)?

3r) Molto facilmente, disponendo di un diagramma termodinamico. E' sufficiente considerare l'isoigrometrica (curva di uguale rapporto di mescolanza) passante per la temperatura di rugiada. Nell'esempio riportato accanto (nomogramma di Herloffson), se la temperatura di rugiada a 900 hPa è di 15°C, l'isoigrometrica che interseca detto valore restituisce una umidità specifica di 12 g/kg (rapporto di mescolanza e umidità specifica differiscono di così poco che si possono utilizzare i valori dell'uno al posto dell'altro).    

4d) Come si calcola la temperatura equivalente T_e?

4r) La temperatura equivalente non è altro che la temperatura effettiva dell'aria  aumentata del calore latente di condensazione di tutto il vapore acqueo contenuto nell'aria stessa.

Ricordando che:

indicando con q la quantità in grammi di vapore acqueo contenuta in un kg di aria umida (massa dell'aria  + massa del vapore acqueo, umidità specifica)

si avrà:

Per cui, se la temperatura effettiva dell'aria (giunta a saturazione) è di 20°C e la sua umidità specifica di saturazione è di 13,6 g/kg, la temperatura equivalente sarà:

t_e = 20 + 2,52 * 13,6 = 54,272°C.

Per semplificare i calcoli, si può arrotondare 2,52 a 2,5.

In tal caso, t_e = 54° C.

Per ottenere la temperatura in gradi Kelvin o assoluti, è sufficiente aggiungere 273 al valore già ottenuto in gradi centigradi.

T_e = 54 + 273 = 327 °K.

5d) Come si calcola la temperatura potenziale (simbolo: q )?

5r) Attraverso la formula:

dove:

q = temperatura potenziale (in gradi Kelvin)

T = temperatura iniziale dell'aria (in gradi Kelvin) alla pressione p₁

p₁ = pressione iniziale 

k = R_A / C_p = 287 / 1005 = 0,286 (arrotondabile a 0,29).

Supponiamo che la nostra particella d'aria si trovi a p₁= 600 hPa, con una temperatura t = -10°C. Convertiamo la temperatura da Celsius a Kelvin: T = t +273 = -10 + 273 = 263 K.

q = 263 ( 1000 / 600 ) ^0,29 = 304 K.

La temperatura potenziale di una particella d'aria posta inizialmente alla pressione di 600 hPa  avente una temperatura di -10°C è 304 K.

6d) Come si calcola la temperatura virtuale?

6r) Applicando la seguente semplice relazione:

dove:

T_v = temperatura virtuale

T = temperatura assoluta dell'aria

r = rapporto di mescolanza (in g/kg).

Esempio:

Una particella d'aria posta alla pressione p = 900 hPa, possiede la temperatura effettiva di 20°C, ed una temperatura di rugiada (t_d) pari a 15°C.

Esprimendo detta temperatura effettiva in gradi assoluti, si ha: 

T = 20 + 273 = 293 °K.

Il rapporto di mescolanza (r) si può calcolare con le medesime modalità viste per il calcolo dell'umidità specifica. Per t_d = 15, e p = 900, si ottiene r = 12 g/kg.

Ora abbiamo tutto quanto ci serve per calcolare la temperatura virtuale:

T_v = 293 + 12/6 = 295 °K.

In alternativa alla formula considerata, si può utilizzare la seguente relazione (meno approssimativa):

T_v = 293 * (1 + 0,61 * 12/1000) = 293 * ( 1 + 0,00732) = 295,14476 °K

7d) Se non dispongo di un diagramma termodinamico, come posso calcolare il rapporto di mescolanza ?

7r) In alternativa al metodo grafico, possiamo far ricorso alla relazione usata per tracciare sul diagramma termodinamico le curve di uguale rapporto di mescolanza (isoigrometriche):

dove 

r_s(T,p) = rapporto di mescolanza alla temperatura T e alla pressione p

e_s = pressione di saturazione del vapore d'acqua rispetto ad una superficie piana d'acqua alla temperatura assoluta T.

Esempio:

La nostra particella d'aria si trova alla pressione di 900 hPa, e possiede una temperatura di rugiada pari a 15°C. Per ottenere la e_s, dobbiamo consultare l'apposita tabella, che ci restituisce per questa temperatura un valore di e_s pari a 17,044 hPa.

Svolgendo i nostri bravi calcoletti, otteniamo che:

622 * 17,044 = 10601,368

900 - 17,044 = 882,956.

Dividendo 10601,368 per 882,956 si ottiene 12,0066... che è quanto cercavamo (prova a confrontare col valore ottenuto col metodo grafico, ricordando che umidità specifica e rapporto di mescolanza differiscono di una trascurabile quantità.)

8d) Calcolo dell'umidità specifica massima.

8r) 

dove

e_s = pressione di saturazione in hPa del vapor d'acqua, alla temperatura t del termometro asciutto, relativamente all'acqua se t>0, relativamente al ghiaccio se t<0.

p = pressione atmosferica vera.

Esempio

Supponiamo di voler conoscere il valore dell'umidità specifica massima di una particella d'aria posta alla pressione di 900 hPa avente una temperatura di 15°C.

e_s(t) = 17,044

622 * 17,044 = 10601,368

900 - 0,378 * 17,044 = 900 - 6,442632 = 893,557368

U_smax = 11,8642... g/kg.

Questo esempio ci dà anche l'occasione per poter dimostrare come rapporto di mescolanza e umidità specifica differiscano di poco: infatti per gli stessi valori di pressione e temperatura, il rapporto di mescolanza risulta pari a 12 g/kg ~ 11,9 g/kg.

9d) Come si calcola l'indice Humidex ? 

9r) Attraverso la seguente relazione empirica:

dove 

t = temperatura in gradi Celsius

e = pressione di vapore in hPa.

Bibliografia: 

Masterton, J.M,  Richardson, F.A., - Humidex, A method of quantifying human discomfort due to excessive heat and humidity, CLI 1-79, Environment Canada, Atmospheric Environment Service, Downsview, Ontario, 1979.

10d) Come si calcola la temperatura pseudopotenziale  Q_p ?

10r) E' sufficiente elevare la temperatura potenziale Q alla seguente espressione:

(L_e(t) / c_p) * (r / T_c)

dove

Data la modesta variabilità di L_e(t) con t, è abbastanza ragionevole considerare costante il rapporto L_e(t) / c_p , pari quindi a 2500.

Pertanto l'espressione 

(L_e(t) / c_p) * (r / T_c)

diventa

2500 * (r / T_c).

Un'ulteriore approssimazione ci consente di semplificare maggiormente la formula. Infatti, sostituendo il rapporto di mescolanza (espresso in g/g) con l'umidità specifica U_s espressa in g/kg, la nostra espressione diventa:

(2,5 *  U_s(t)  / T_c).

Per il calcolo della T_c si veda la domanda successiva.

11d) Come si calcola la temperatura di condensazione ?

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